Misschien heb je de term “axioma” wel eens gehoord, maar weet je niet precies wat het is. Kort gezegd is een axioma een uitspraak die als waar wordt aanvaard zonder dat er een bewijs voor nodig is. In de wiskunde zijn axioma’s de basisaannames waarvan je moet uitgaan om een theorie te ontwikkelen. Met andere woorden, het zijn de bouwstenen waarop al het andere wordt gebouwd.
De oorsprong van het woord axioma
Het woord “axioma” komt van het Griekse woord ἀξίωμα, dat “dat wat waardig wordt geacht” betekent. De term werd voor het eerst gebruikt in het Engels in de vroege jaren 1600 om te verwijzen naar een vanzelfsprekende waarheid. Het duurde echter tot het midden van de 19e eeuw voordat de term in meer wiskundige zin werd gebruikt
Soorten axioma's
Er zijn drie hoofdtypen axioma’s: logische, natuurkundige en wiskundige
Logische axioma’s zijn uitspraken die alleen op basis van logica als waar worden aanvaard. De wet van non-contradictie is bijvoorbeeld een logisch axioma dat stelt dat twee tegenstrijdige uitspraken niet tegelijk waar kunnen zijn
Natuurkundige axioma’s zijn uitspraken over de fysieke wereld die op grond van observatie en experimenten als waar worden aanvaard. Zo is de wet van de zwaartekracht een natuurkundig axioma dat stelt dat voorwerpen op de grond vallen als ze vallen
Wiskundige axioma’s zijn uitspraken over wiskunde die alleen op grond van wiskundige redeneringen als waar worden aanvaard. Bijvoorbeeld, de associatieve eigenschap van optellen stelt dat je getallen in willekeurige volgorde kunt optellen en toch hetzelfde resultaat krijgt
Waarom hebben we axioma's nodig?
Axioma’s spelen zowel in de wiskunde als in de filosofie een belangrijke rol. In de wiskunde bieden ze een uitgangspunt van waaruit we complexere theorieën kunnen ontwikkelen. In de filosofie helpen ze ons te begrijpen hoe we weten wat we weten.
Een van de beroemdste filosofische vragen is bijvoorbeeld “Hoe weet ik dat ik besta?” Deze vraag is moeilijk te beantwoorden omdat ze bepaalde dingen veronderstelt over het bestaan zelf. Als we echter bepaalde logische axioma’s als waar aanvaarden – zoals de wet van de niet-contradictie – kunnen we beginnen een meer samenhangend begrip op te bouwen van het bestaan en de kennis zelf.
Hoe kun je bewijzen dat een axioma waar is
Zoals we gezien hebben, zijn axioma’s uitspraken die als waar worden aanvaard zonder dat ze bewezen hoeven te worden. Dit betekent echter niet dat ze niet bewezen kunnen worden. In feite kunnen veel axioma’s bewezen worden met verschillende methoden.
Eén manier om een axioma te bewijzen is met een reductio ad absurdum argument. Dit is een argument dat een stelling neemt en aantoont dat deze tot een tegenspraak leidt. Als de bewering waar is, dan moet de tegenspraak ook waar zijn (wat onmogelijk is). Daarom moet de bewering onwaar zijn.
Stel bijvoorbeeld dat we de wet van de non-contradictie willen bewijzen. We zouden dit kunnen doen door aan te tonen dat als de wet niet waar zou zijn, dan zou dat leiden tot een tegenspraak. Daarvoor zouden we twee tegenstrijdige beweringen moeten vinden die allebei waar zijn. Maar omdat dit (per definitie) onmogelijk is, moet de wet van de non-contradictie waar zijn.
Een andere manier om een axioma te bewijzen is door aan te tonen dat het een speciaal geval is van een andere meer algemene uitspraak. Bijvoorbeeld, de associatieve eigenschap van optelling stelt dat je getallen in willekeurige volgorde kunt optellen en toch hetzelfde resultaat krijgt. Dit is echter slechts een speciaal geval van de meer algemene commutatieve eigenschap, die stelt dat je de volgorde van getallen kunt veranderen en nog steeds hetzelfde resultaat krijgt. Om aan te tonen dat de associatieve eigenschap waar is, volstaat het dus aan te tonen dat de commutatieve eigenschap waar is.
Het bewijzen van een axioma kan moeilijk zijn. In veel gevallen is het axioma zelf zo fundamenteel dat het niet bewezen kan worden zonder gebruik te maken van andere onbewezen veronderstellingen. In sommige gevallen, zoals de hierboven gegeven voorbeelden, is het echter mogelijk een bewijs te leveren.
Voorbeelden van axioma's
- De wet van non-contradictie: Dit is het meest elementaire van alle logische axioma’s. Het stelt dat twee tegenstrijdige uitspraken niet tegelijkertijd waar kunnen zijn.
- De wet van de identiteit: Dit logisch axioma stelt dat elk ding identiek is aan zichzelf. Met andere woorden, A=A.
- De wet van het uitgesloten midden: Dit logisch axioma stelt dat ofwel A ofwel niet-A waar moet zijn (maar niet beide).
- De associatieve eigenschap van optellen: Dit wiskundige axioma stelt dat je getallen in willekeurige volgorde kunt optellen en toch hetzelfde resultaat krijgt.
- De commutatieve eigenschap van optelling: Deze wiskundige axioma stelt dat je nummers in een willekeurige volgorde en nog steeds hetzelfde resultaat..
- De distributieve eigenschap van vermenigvuldiging: Dit wiskundige axioma stelt dat je een getal kunt vermenigvuldigen met een som en hetzelfde resultaat krijgt als wanneer je elk getal in de som afzonderlijk vermenigvuldigt en vervolgens de resultaten bij elkaar optelt.
Conclusie
Axioma’s spelen een belangrijke rol in zowel de wiskunde als de filosofie door een uitgangspunt te bieden van waaruit complexere theorieën kunnen worden ontwikkeld. Kortom, een axioma is een uitspraak die als waar wordt aanvaard zonder dat een bewijs nodig is. Er zijn drie hoofdtypen axioma’s: logische, natuurkundige en wiskundige. Elk type komt overeen met een ander onderzoeksgebied. Inzicht in axioma’s kan ons helpen zowel de wiskunde als de filosofie beter te begrijpen.
